L'Antinomia di Richard

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L'antinomia logica proposta dal matematico francese Jules Richard nel 1905 è particolarmente interessante perché mette esplicitamente sotto il fuoco dell'analisi il rapporto tra teoria e metateoria, indagando la rappresentabilità di un metalinguaggio M che esprime un certo sistema formale di livello n+1, in un linguaggio L che esprime un certo sistema formale di livello n, metadescritto proprio da M.

L'antinomia benché di facile soluzione, va considerata uno degli spunti da cui Gödel ha tratto i suoi celeberrimi teoremi.

A) Costruzione dell'antinomia

Consideriamo un linguaggio M in cui possano essere formulate e definite le proprietà puramente aritmetiche dei numeri cardinali: alcuni termini di questo linguaggio, per ovvia necessità, vengono considerati “primitivi” e quindi non definiti. Non importa quali essi siano. Dato che tale linguaggio M svolge funzioni descrittive delle proprietà aritmetiche dei numeri cardinali, esso costituisce un metalinguaggio rispetto al sistema formale dell'aritmetica.

Il metalinguaggio M sarà caratterizzato dalle seguenti proprietà:

1. Ogni definizione data nel metalinguaggio M sarà composta di un numero finito di parole e quindi da un numero finito di segni alfanumerici.

2. Dato il punto n.1, sarà possibile ordinare in una serie tutte le definizioni, in base ai seguenti due criteri:

a) una definizione A precede una definizione B, se il numero di lettere che forma A è minore di quello che forma B;

b) qualora due definizioni abbiano lo stesso numero di lettere, l'ordine sarà stabilito per criterio alfabetico.

3. Grazie all'ordinamento stabilito al n.2, sarà possibile far corrispondere ad ogni definizione uno e un solo numero intero che indicherà il posto che la definizione occupa nella serie.

B) Elaborazione del paradosso

In certi casi può accadere che il numero intero associato a una data definizione A possegga proprio la proprietà descritta dalla definizione stessa. Per esempio, potrebbe accadere che la definizione n.17 sia proprio quella che descrive e definisce il concetto di “numero primo” o di “numero dispari” che sono appunto proprietà possedute dal numero 17.

Sulla base di questa riflessione si danno le seguenti definizioni:

1. Quando una definizione avente numero d'ordine X possiede la proprietà espressa nella definizione ad essa corrispondente, si dice che il numero X non è richardiano

2. Quando una definizione avente numero d'ordine X non possiede la proprietà espressa nella definizione ad essa corrispondente, si dice che il numero X è richardiano.

Quindi:

X è richardiano ↔ non possiede la proprietà descritta

X non è richardiano ↔ possiede la proprietà descritta

In questo modo è stata definita una nuova proprietà numerica degli interi: la proprietà “essere richardiano”. Anche tale nuova proprietà verrà perciò descritta dal metalinguaggio M che abbiamo creato e quindi anch'essa sarà associata a un numero d'ordine.

Ora, supponendo che il numero d'ordine della definizione che esprime la proprietà di “essere richardiano” sia N, ci chiediamo: N è richardiano?

C) Conclusione paradossale

Per come è stato costruito il sistema, la risposta a questa domanda dà luogo a un paradosso, in quanto:

1. Se N è richardiano, per la definizione di cui al punto B) 2, significa che non possiede la proprietà descritta dalla definizione. Dato che in questo caso la proprietà era “essere richardiano”, abbiamo la conclusione paradossale per cui:

se N è richardiano non possiede la proprietà di “essere richardiano”.

2. Se N non è richardiano, per la definizione di cui al punto B) 1, significa che possiede la proprietà descritta dalla definizione. Dato che in questo caso la proprietà era “essere richardiano”, abbiamo la conclusione paradossale per cui:

se N non è richardiano possiede la proprietà di “essere richardiano”.

In conclusione le proposizioni “N è richardiano” e “N non è richardiano” sono al contempo vere e false.

D) Soluzione dell'antinomia

La soluzione dell'antinomia di Richard è estremamente facile.

È stato appositamente commesso un errore di costruzione. La convenzione costruttiva da cui si è partiti (punto A) era che le definizioni del metalinguaggio M, poi riunite e ordinate in serie, dovevano esprimere le proprietà puramente aritmetiche dei numeri cardinali.

Poi, successivamente, (al punto B) è stata surrettiziamente fatta rientrare nella serie delle definizioni anche quella relativa alla proprietà di “essere richardiano”, che non è affatto una proprietà puramente aritmetica dei numeri cardinali.

In sostanza la convenzione costruttiva di M era quella di ordinare la proprietà matematiche, mentre è stata inserita una proprietà meta-matematica, esprimente una proprietà notazionale delle proprietà matematiche.

E) Significato dell'antinomia di Richard

Benché l'antinomia di Richard sia facilmente risolvibile notando l'errore di costruzione di cui s'è detto, essa rimane storicamente assai importante per una serie di motivi:

1. Si pone il problema se sia possibile “rispecchiare” (o “rappresentare”) proposizioni meta-logiche relative ad un certo sistema formale all'interno del sistema logico stesso a cui esse si riferiscono;

2. In sostanza ci si chiede se, una struttura astratta di relazioni valide in un determinato dominio teorico T (1° dominio) possa essere dimostrata valida tra oggetti di un altro dominio metateorico T' (2° dominio), avente T come teoria-oggetto. L'antinomia porta perciò il focus dell'attenzione sulla possibilità di rispecchiamento tra linguaggio e metalinguaggio.

3. L'errata costruzione di Richard è stata lo stimolo per la prova di Gödel: tentare se fosse possibile “rispecchiare” proposizioni metamatematiche relative a un sistema formalizzato di aritmetica, “traducendole” in proposizioni aritmetiche interne al sistema stesso. In questo modo le relazioni logiche dell'aritmetica sarebbero state espresse attraverso espressioni aritmetiche, più facilmente manipolabili.

4. Dietro a tutto questo c'è il problema, di profondo significato filosofico, se un sistema logico possa essere “autocontenuto”, ovvero in grado di esprimere all'interno del sistema anche le proposizioni “sul” sistema, esibendo così il suo stesso fondamento. L'impossibilità a fare questo, espressa dai teoremi di Gödel, costituisce uno dei nodi fondativi del cosiddetto “pensiero debole” e ne costituisce in un certo senso la “base logica”.